복소수
복소수의 정의, 사칙연산, 켤레복소수의 성질을 통해 i의 거듭제곱과 복소수 연산을 익힙니다.
복소수란?
i² = −1인 허수단위 i를 도입한 수. 형태: a + bi (a, b는 실수).
- 실수부: a
- 허수부: b
- b = 0이면 실수, a = 0이고 b ≠ 0이면 순허수
i의 거듭제곱
주기 4 패턴
- i¹ = i
- i² = −1
- i³ = −i
- i⁴ = 1
이후 i⁵ = i, i⁶ = −1, ... 4개 주기로 반복.
복소수 사칙연산
실수부끼리, 허수부끼리 계산:
- (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
- 곱셈은 i² = −1로 치환
예제. (2 + 3i)(1 − i)
= 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i − 3(−1) = 5 + i
켤레복소수
z = a + bi의 켤레는 z̄ = a − bi. 곱 z·z̄ = a² + b²는 실수.
출제 패턴
① i의 거듭제곱 계산, ② 복소수 곱셈, ③ 켤레복소수 활용.
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직접 풀어보기
복소수 (2 + 3i)(2 − 3i) 의 값을 구하시오. (단, i² = −1)
풀이. (a + bi)(a − bi) = a² + b². 따라서 2² + 3² = 4 + 9 = 13.